Gnonnan Jean-Paul ADOGBO, PhD

Ce travail porte sur le développement de méthodes hybrides combinant analyse numérique et apprentissage profond pour la résolution et la modélisation de phénomènes physiques. Il s’agit, d’une part, d’intégrer des schémas numériques multigrilles au sein d’architectures de réseaux de neurones profonds afin de résoudre des équations hyperboliques de lois de conservation en dimension un. D’autre part, nous concevons des modèles de Deep Learning intégrant explicitement des contraintes physiques ainsi que des connaissances a priori ,telles que la conservation de la masse, la décroissance de l’énergie..., sur les systèmes dynamiques, dans le but d’améliorer la prédiction et la compréhension des phénomènes physiques. Les calculs intensifs nécessaires à ces développements sont réalisés sur le supercalculateur Jean Zay du CNRS.

▶Analyse 2, TD, 2e année de licence Mathématiques-Informatiques à Université Paris Dauphine •2021-2022: 54h •2022-2023: 54h •2023-2024: 54h ▶ Calcul fonctionnel, Cours/TD, 1e année de licence Mathématiques-Informatiques à Université Paris Dauphine •2023-2024: 30h

Cette thèse est consacrée à l’étude de plusieurs systèmes modélisant des phénomènes de la mécanique des fluides, tels que l’écoulement de fluides visqueux, compressibles ou incompressibles, avec ou sans capillarité. Dans la première partie, nous revisitons les résultats d’existence locale en temps pour les solutions de systèmes hyperboliques-paraboliques tels que les équations de Navier–Stokes, de la MHD, de l’électromagnétisme, de la viscoélasticité... Nous établissons de nouveaux résultats dans des espaces à régularité critique pour des données initiales convenables. Par la suite, nous démontrons l’existence de solutions globales en temps pour de petites données initiales dans des espaces de Besov homogènes critiques. Enfin, nous justifions la convergence en temps long vers des états stationnaires stables, avec un taux de décroissance algébrique. La deuxième partie est consacrée à l’analyse du bien-posé global d’un écoulement compressible biphasique présentant une transition de phase régulière. Plus précisément, nous montrons qu’à partir de grandes données initiales dans des espaces de Lebesgue Lp il est possible de construire des solutions globales en temps dans ces mêmes espaces. Enfin, la dernière partie porte sur l’étude d’un écoulement de fluide incompressible multiphasique. Si l’existence et l’unicité de solutions globales en temps sont bien comprises lorsque la densité initiale est bornée, la situation est moins claire lorsque cette densité ne l’est pas. Nous démontrons que, si la densité initiale appartient à un espace de type Yudovich (la densité initiale peut ne pas être bornée), il est néanmoins possible de construire des solutions globales en temps.